数学几何别墅？
这个题目其实有瑕疵，这个题目应该是 求一个凸多面体，使它的所有棱长都是2或者3或者4. 这个题目的疑问主要在于对“所有”的定义。 显然，所有的棱长是2的凸多面体是一个封闭的多面体（所有顶点都在同一个平面内）并且它一共有6条边。
同样地，所有的棱长是3的凸多面体也是一个封闭的多面体并且共有12条边。 但是，如果一个棱长为4的凸多面体，它不一定是封闭的（例如正四棱锥），因此“所有”在定义上就有问题——怎么知道这个凸多面体没有一条边的长度是3呢？
实际上，我们只需要考虑有限多个边长的几种情况，就可以定义出“所有”的意思了。
考虑5种情况： ①所有棱长都等于1；②所有棱长都等于2；③所有棱长都等于3；④所有棱长都等于4；⑤有一个顶点的周围所有棱长都相等。 根据图论中的欧拉公式 E=\sum_{i=0}^{n}{(-1)}^i h^2+v^2-e我们可以计算得出 当这个凸多面体是一个欧式空间（无向图）时，E=\sum_{i=0}^{5}{(-1)}^ih^2+v^2-e 所以当它满足每一个边界环的欧拉数都是奇数时，它就是我们所要找的凸多面体。
如果它是一个欧式空间且每一个边界环的欧拉数为偶数，则它不是我们要寻找的。 由此我们能够找到所有棱长都是2或3的凸多面体。 对于第四个条件，由于每个顶点都有8个相邻的点，所以一个凸多面体至少有127条边。而一个具有500个顶点的凸多面体的棱长不可能都达到4，否则它就拥有超过4000条边。这就证明了这个问题没有解。