数学几何别墅？
这个题目其实有瑕疵，这个题目应该是 求一个凸多面体，使它的所有棱长都是2或者3或者4. 这个题目的疑问主要在于对“所有”的定义。 显然，所有的棱长是2的凸多面体是一个封闭的多面体（所有顶点都在同一个平面内）并且它一共有6条边。
同样地，所有的棱长是3的凸多面体也是一个封闭的多面体并且共有12条边。 但是，如果一个棱长为4的凸多面体，它不一定是封闭的（例如正四棱锥），因此“所有”在定义上就有问题——怎么知道这个凸多面体没有一条边的长度是3呢？
实际上，我们只需要考虑有限多个边长的几种情况，就可以定义出“所有”的意思了。
考虑5种情况： ①所有棱长都等于1；②所有棱长都等于2；③所有棱长都等于3；④所有棱长都等于4；⑤有一个顶点的周围所有棱长都相等。 根据图论中的欧拉公式 E=\sum_{i=0}^{n}{(-1)}^i h^2+v^2-e我们可以计算得出 当这个凸多面体是一个欧式空间（无向图）时，E=\sum_{i=0}^{5}{(-1)}^ih^2+v^2-e 所以当它满足每一个边界环的欧拉数都是奇数时，它就是我们所要找的凸多面体。
如果它是一个欧式空间且每一个边界环的欧拉数为偶数，则它不是我们要寻找的。 由此我们能够找到所有棱长都是2或3的凸多面体。 对于第四个条件，由于每个顶点都有8个相邻的点，所以一个凸多面体至少有127条边。而一个具有500个顶点的凸多面体的棱长不可能都达到4，否则它就拥有超过4000条边。这就证明了这个问题没有解。
在数学上，几何学是从现实世界的各种物体中抽象出它们的形状和大小、位置和空间等有关特征，并把这些特征作为研究对象而形成的一门学问。古埃及和古巴比伦数学中已经形成了有关土地和建筑物的长度、宽度、高度、斜度、面积、体积等方面的丰富知识，这些知识被希腊数学家所继承和发扬，把它们综合起来整理成一个有着严密论证体系的数学分支———几何学。欧几里得的《几何原本》就是这种努力的结晶。
《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于，它是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范。在这部著作中，欧几里得首先提出了点、线、面、角等图形的基本定义，接着提出了五条公理和五条公设。所谓公理，是泛指的不证自明的基础命题，它们并不仅限于几何，也可以应用于其他数学分支；所谓公设，则只限定在本学科领域内使用。在公理和公设的基础之上，欧几里得运用了逻辑推理的方法，将内容极其丰富的几何学的全部内容构建成一个严密的体系。
欧几里得的公理和公设中有四条是大家所熟悉的。第五公设是关于平行线的，原文很长，为了叙述方便可以改为等价的表述方式：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。”
五条公设中除了第五公设外，其他四条都很容易被人理解和接受，但是第五公设就不那么显而易见了，也就是说第五公设不像其他四条公设那样直观。因此，数学家们一直怀疑是否能够把它作为一条公设，有没有可能把它当作一条定理，通过其他的公设和公理推导出来。由此就开始了证明第五公设的漫长的历史。尽管后来证明第五公设的企图全部都失败了，但是人们却由此发现了比第五公设更简洁的等价命题。这就是人们常说的平行公设或者平行公理。平行公设的等价命题有很多，其中之一就是：
三角形内角和等于两直角。
“三角形内角和等于两直角”这一命题与平行公设等价的提出，让一些富有挑战性的数学家们看到了证明平行公设的曙光，他们想到证明平行公设只需要从其他四条公设和五条公理出发证明三角形内角和等于两直角就可以了。
到了19世纪初，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基（1792—1856）开始了自己的证明工作。但是罗巴切夫斯基想尽办法都行不通，他在绝望之余想到，既然用数学公理、公设已经不可能证明平行公设，那么数学的最后根据经验也不靠谱，而他假设矛盾命题后也并没有出现逻辑矛盾，因此他想到了一种新颖独特的方法——反证法：
证明三角形内角和大于或小于两直角会推出矛盾，因此三角形内角和必须等于两直角。
在证明过程中罗巴切夫斯基惊奇地发现，无法证明假定三角形内角和大于或小于两直角引出矛盾。
罗巴切夫斯基由此想到了一个大胆的设想：把“过直线外一点有一条以上直线与已知直线平行”作为公设和其他数学公理、公设一起组成了新的无矛盾的几何体系！这在当时的数学界和科学界是石破天惊的结论。如果把这当做一种新的几何体系的话，那么欧几里得的《几何原本》中的几何只是一种特殊的几何。从此欧几里得的地位动摇了。
1826年，在喀山大学物理数学系的一次会议上，罗巴切夫斯基首先宣读了他的论文《平行线理论和几何学原理研究》。但是参加会议的大多数教授对罗巴切夫斯基的想法嗤之以鼻，就连他的导师也没有表示支持，更有甚者讽刺挖苦、围攻罗巴切夫斯基，甚至要求学校处罚罗巴切夫斯基。在强大的反对压力和政治因素下，1827年罗巴切夫斯基不得不辞去了系主任的职务，在教学的平凡岗位上工作了25年。在1846年的一次会议上，罗巴切夫斯基再次宣读了自己的论文，同样没有得到认可和支持。由于长期受到排挤，罗巴切夫斯基最后完全失明，于1856年去世。但是真理和正义永远都在人们的心中，罗巴切夫斯基的学说没有也不可能被埋没，它在1868年终于获得了学术界的公认：意大利数学家贝特拉米（1835—
